En Mathématiques, l'identité d'Euler est une relation mathématiques, nommée ainsi en l'honneur du Mathématicien Leonhard Euler.

e ^{i π} + 1 = 0

où e est la base du logarithme népérien, i est l'unité des imaginaires purs (vérifiant i ² = -1) et π est la constante d'Archimède (le rapport de la circonférence d'un Cercle à son Diamètre).

L'identité apparaît dans le livre Introductio de Leonhard Euler, publié à Lausanne en 1748.

Dans la préface de l'un de ses cahiers, alors qu'il avait presque quinze ans, Richard Feynman, qualifia cette identité de « formule la plus remarquable au monde ».

Feynman a trouvé cette formule remarquable parce qu'elle lie des constantes mathématiques fondamentales :

• Les nombres 0 et 1 sont respectivement les éléments neutres pour l'Addition et la multiplication.
• Le nombre π est une constante relative à notre monde euclidien, au moins sur de petites échelles (sinon le rapport de la longueur de la circonférence du cercle à son diamètre n'est pas une constante universelle, c'est-à-dire la même pour toutes les circonférences).
• Le nombre e est important dans la description des comportements de forte croissance, et apparaît dans la solution y ( y (x) = e ^x ) de la plus simple équation différentielle de croissance : dy / dx = y et y (0) = 1.
• Enfin, le nombre imaginaire i a été introduit pour que tous les polynômes non constants à coefficients réels admettent des racines (voir le théorème de d'Alembert).

La formule comporte également les opérations arithmétiques fondamentales d'addition, de multiplication et d'élévation à une puissance. Cette formule est un cas particulier de la Formule d'Euler en Analyse complexe :

Pour tout Nombre réel x,

e ^ix = cos x + i sin x !

(moyen mnémotechnique: cis(x) = cos(x)+i sin(x) )

Si nous posons x = π, alors

e ^{i π} = cos π + i sin π !

et puisque cos( π) = -1 et sin( π) = 0, nous obtenons

e ^{i π} = -1 !

et par conséquent,

e ^{i π} + 1 = 0 !

• L'interprétation géométrique est issue de

  e i π~eq

  (

  1 +

  i π ––––– N

  )

  N~eq -1

à partir du germe suivant réitéré N fois

En effet, d'une part,

z ∈C e z =

lim n → ∞

(

1+

z –– n

)

n

et d'autre part les multiplications complexes se traduisant par des rotations, le point de coordonnées

(

1 +

i π ––––– N

)

N

est obtenu en juxtaposant N triangles rectangles comme indiqué sur la figure ci-contre.

Aussi belle et mystérieuse qu'est cette identité d'Euler, on comprend mieux géométriquement pourquoi, lorsque N tend vers ∞ , le point d'affixe e ^{i π} est égal à (-1,0)

Voir aussi

• Théorème d'Euler (fonctions de plusieurs variables), un résultat d'Euler d'analyse à plusieurs variables.

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